lunes, 23 de diciembre de 2013

Problemas de tableros usando piezas del ajedrez

El XXXI Coloquio de la Sociedad Matemática Peruana se llevó acabo este año en la ciudad de Ica del 9 al 13 de diciembre. En dicho evento nuevamente se realizaron talleres de olimpiadas, donde estuve a cargo de uno de ellos. En dicho taller el tema fue "Problemas de tableros usando piezas de ajedrez". Como dato peculiar, dicho taller en realidad se debió realizar en la cuarta fase de la ONEM 2013, lo cual no pudo ocurrir por una mala coordinación.

Como preámbulo hice una comparación rápida entre un problema de olimpiadas y un problema típico o rutinario de colegio, pre o inclusive superior que a partir de ahora llamaré ejercicio. El resumen es el siguiente:

- Para resolver un ejercicio basta repetir lo que hizo el profesor en clase o ver un libro adecuado.
- Un problema de olimpiadas va a requerir siempre de un esfuerzo extra y muchas veces un razonamiento distinto al que se vio en clase o al que hay en un libro.

- El tiempo que demora resolver un ejercicio es relativamente corto.
- El tiempo que demora en resolver un problema de olimpiadas puede llegar a ser muy extenso, sin embargo el resolver este tipo de problemas da una experiencia que nunca se conseguirá con uno o varios ejercicios.

- Los ejercicios casi nunca requieren justificación (estas se hicieron en clase y en muchos casos importa más el resultado final).
- Los problemas de olimpiadas sí necesitan una demostración y tener un orden lógico adecuado, ya que casi siempre se trata de problemas inéditos y serán evaluados por expertos, entre otras cosas.

Volviendo al tema, pueden descargar el archivo desde el siguiente enlace:


El archivo está en PDF (en diapositivas) y en el cual pueden encontrar 7 problemas derivados del último, que en realidad es el problema 4 del nivel 1 de la cuarta fase de la ONEM 2013. Todas las soluciones son gráficas, aún así creo que todas se pueden entender (sin necesidad de haber estado en el taller).

Muchas gracias, disculpen la demora y hasta luego,

John Cuya.

miércoles, 13 de noviembre de 2013

OliMatPeru - número 3

Hola a todos,

En esta oportunidad les traigo el número 3 de la revista Olimpiadas Matemáticas en el Perú a pocos días de realizarse la cuarta fase de la ONEM. Antes de ver el enlace y el contenido, quiero que quede claro que si esto no salió antes es porque simplemente estaba ocupado (entre otras cosas), además es complicado hacer este tipo de cosas solo. El material lo pueden encontrar en el siguiente enlace:

(recuerden que lo pueden descargar desde el enlace: Archivo (File) / Descargar (Download))

Mientras carga pueden ver el contenido:

Se trata de los problemas más difíciles de la tercera fase de la ONEM 2013. Veamos cuales son uno por uno:

Del nivel 1 seleccioné nuevamente los problemas 9 y 10 por ser claramente los más interesantes y también los más difíciles. Del nivel 2 elegí los problemas 8, 9 y 10, esto debido a que hubo un error en el problema 10 (Ya lo explicó Jorge Tipe en su blog), así que resolveré una versión alternativa del problema 10 y (para compensar) el problema 8 que es de combinatoria. Otra cosa que comentar sobre el nivel 2 es que el problema 9 resultó bastante extenso por su multitud de casos. Del nivel 3 elegí los problemas 9 y 10. Lo curioso es que el problema 9 se puede hacer en muchos casos, sin embargo, veremos una manera interesante de hacer la cuenta en sólo dos casos. El problema 10 también tiene sus detalles, teniendo una buena noción de límite y algo de sentido común se podía llegar a la respuesta, sin embargo, el problema es cómo demostrarlo. Hay una solución para este problema trabajando con los radios de las circunferencias menores y acotando la expresión que se obtiene con el coseno del ángulo a acotar, pero hay una solución alternativa que tiene que ver con Inversión Geométrica tema que abunda mucho en Internet (a su momento también se hará en la revista), buscando sólo unos minutos encontré:


Seguro se puede encontrar otras páginas más (sobre todo en otro idioma).

Además en la última página encontrarán los problemas propuestos con 5 nuevos problemas, cuyas soluciones pueden ser enviadas al correo

olimatperu@gmail.com

Y bueno, eso sería todo el contenido.

Este fin de semana voy a estar en la cuarta fase de la ONEM, así que los alumnos que quieran que su nombre aparezca en el siguiente número me pueden entregar sus soluciones de los problemas propuestos del 6 al 10.

Hasta luego,

John Cuya.

Notas finales:
- Cualquier duda u observación también pueden escribir al mismo correo.
Todos los errores se irán corrigiendo poco a poco, hasta que quede refinando.

martes, 1 de octubre de 2013

OliMatPeru - número 2

Bueno, hay muchas cosas que mencionar respecto a este número. Primero que lo considero más como una respuesta al número 1, el cual tenía que salir sí o sí. Así que, al igual que el primero, no esperé más para hacerlo público. El material lo pueden ubicar en el siguiente enlace:

(recuerden que lo pueden descargar desde el enlace: Archivo (File) / Descargar (Download))

Mientras carga pueden ver el contenido:

La primera parte consiste en los problemas más interesantes (en mi opinión) de la segunda fase de la ONEM 2013, son 2 por nivel. Pueden ver los enunciados de las pruebas en el siguiente enlace:


Del nivel 1 seleccioné los problemas 9 y 10 que claramente se diferencian de los otros, así que no hay mucho que comentar. Del nivel 2 elegí los problemas 7 y 10, pues en el problema 9, si te dabas cuenta de que la razón podía ser racional no era difícil (tanteando) encontrar los valores máximos que justo ocurren con los primos altos y el problema 8 es un problema que sólo necesita tener un buen orden al momento de hacer los conteos que no eran muy difíciles. Del nivel 3 también elegí los problemas 7 y 10, pues si bien en el problema 9 se necesita una desigualdad para acotar a, lo que seguía era ir probando con paciencia y respecto al problema 8, prefiero hacer un problema de combinatoria interesante a uno de geometría no tan complicada (aunque me han dicho que sí estaba en algo).

En la segunda parte se encuentran las soluciones de los problemas propuestos en el número 1. El formato que tiene es el que pienso hacer para todos los números (respecto a las soluciones enviadas por los alumnos). Me hubiese gustado tener más soluciones, sobre todo de provincia, pero falta divulgar mucho.

Sé que en una entrada anterior dije que habría una parte teórica, pero lamentablemente no se pudo, principalmente por que quise que salgan estas soluciones de la ONEM lo más antes posible, pero queda pendiente para el siguiente número. Tampoco hay problemas propuestos por el mismo motivo.

Como siempre espero que el material les sea de utilidad, hasta luego,

John Cuya.

Notas finales:
- Por fin salió el número 2, eso es algo alentador. Por otro lado, fue muy agotador hacerlo y es muy probable que no haya uno parecido para la tercera fase.
- Todos los errores se irán corrigiendo poco a poco, hasta que quede refinando.

miércoles, 25 de septiembre de 2013

Informe sobre OliMatPeru - número 2

Esta entrada es por dos motivos: la primera es para informar sobre el contenido del número 2 de la revista Olimpiadas Matemáticas en el Perú: En la parte teórica tendrá un artículo sobre divisibilidad gracias a Jorge Tipe, a quien le agradezco de antemano. Además habrá algunos problemas resueltos relacionados a la ONEM.

Por otro lado, sobre el envío de problemas, no he recibido soluciones a pesar de que ya pasaron dos semanas, recuerden que el futuro de la revista depende de la participación. La razón puede ser diversa, tal vez la principal sea la poca difusión, así que por ahora voy a seguir a pesar de que casi no he recibido soluciones. Otro motivo puede ser la dificultad de escribir una solución, por eso trataré de enseñar cómo presentar una solución ya sea en un archivo de texto conocido o en el peor de los casos en el contenido del mensaje de un correo electrónico.

******************************************************************************************************************

Primero lo Básico
Para representar la potencia de base a y exponente x se escribe a^x (se puede obtener como combinación de algunas teclas o con alt + 94).
Para representar un subíndice por ejemplo a sub i se escribe a_i (guión bajo).

Así por ejemplo podemos representar un polinomio
P(x) = x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1).
o trabajar con raíces de polinomios (entre otras cosas):
P(x) = x^2 + bx + c = (x - x_1)(x - x_2), donde x_1 y x_2 son las raíces de P(x).

Recuerda que si se quiere representar el producto ab a la potencia 5 es mejor usar paréntesis: (ab)^5 y si se tiene producto mejor usar puntos o paréntesis si es necesario, además de manejar los espacios, por ejemplo (seguimos con polinomios):
P(x) = x^5 + a.x^3 - (b + c)x^2 + 1.

¿Cómo representar un numeral?
En esta parte si es preferible usar editor de ecuaciones de word u algún otro; si no se cuenta con ello, sólo hay que usar la imaginación. Podemos definir, por ejemplo: Sea (abc) el númeral de tres cifras abc; y así diferenciarlo del producto abc, es decir:
(abc) = 100a + 10b + c,
(ab)(cd) = (10a + b)(10c + d).
Obviamente esto servirá si no aparece en la solución, por ejemplo, el producto ab multiplicado por el numeral de dos cifras cd, en ese caso sólo hay que buscar otra notación.
Observación: En latex el numeral abc se representa con \overline{abc}.

La raíz cuadrada y fracciones
Para la raíz cuadrada no hay una combinación en el teclado. La mejor opción es, si se tiene word, buscarlo en la lista de símbolos o usando el editor de ecuaciones; sino copiarlo y pegarlo: √.
Recordar que se debe usar bien los paréntesis para saber diferenciar las expresiones como 
2 + 1 y (2 + 1) = 3.
Para las fracciones, si no se tiene algún editor, solo usar / para expresar 1/3 + 1/6 = 1/2. Igual que con la raíz cuadrada hay que saber usar bien los paréntesis pues
a + b/2 = (2a + b)/2 no es lo mismo que (a + b)/2. 
Observación: En latex la raíz n-ésima de x se representa con \sqrt[n]{x} y la fracción a/b se representa con \frac{a}{b}.

¿Cómo colorear tableros?
Si no se puede realizar en un programa de gráficos, nuevamente la solución será usar la imaginación. Por ejemplo, quiero representar un tablero de 8 x 8 pintado de blanco y negro como en el ajedrez:
B N B N B N B N
N B N B N B N B
B N B N B N B N
N B N B N B N B
B N B N B N B N
N B N B N B N B
B N B N B N B N
N B N B N B N B
Si sólo se quiere colorear algunas de las casillas, puede ser así (donde O representa vacío o sin pintar):
X O O O O X O O
O O X O O O O X
O O O O X O O O
O X O O O O X O
O O O X O O O O
X O O O O X O O
O O X O O O O X
O O O O X O O O

Gráficos en Geometría
Pues la solución de un problema de geometría no necesita gráfico, así de simple, sólo hay que detallar bien todos los nuevos puntos, rectas, etc, que van apareciendo en nuestra solución (obviamente hay que tener un gráfico en mano). Así podemos usar expresiones como:
Sea X el punto de intersección de los segmentos AC y BD.
Trazamos la mediana AM en el triángulo ABC con M en BC.
Prolongamos el segmento AB por B hasta el punto E tal que BC y DE sean paralelos.
Siempre es mejor presentar una solución de un problema de geometría con un gráfico, pero si no se puede no hay que hacerse líos.

******************************************************************************************************************

Bueno, ya ven que no hay impedimento para hacer una solución vía Internet, espero que a alguien le sirva esto y se animen a mandar soluciones, como dije antes, en algún archivo de texto conocido o como sea. De hecho me serviría más una solución con estos estilos que una con ecuaciones de word, pues todo el contenido de la revista: texto, ecuaciones e inclusive los gráficos están hechos con códigos de este tipo completamente en latex. Más aún, trabajar de esa manera les serviría no sólo ahora si no cuando estén en la universidad para presentar trabajos más elegantes en ciencias, ingeniería, etc.

Hasta luego,

John Cuya.

Nota Final:
- La revista OliMatPeru - número 1 está remasterizada (con colores y eso) después de algunos consejos que he recibido.

martes, 10 de septiembre de 2013

OliMatPeru - número 1

Actualmente en Internet se puede encontrar todo tipo de información, sin embargo, encontrar algo verdaderamente útil para olimpiadas matemáticas es difícil, sobre todo para los alumnos, pues o está en otro idioma o lo venden en algún libro o es muy escaso. Por ese motivo he tomado parte de mi tiempo para hacer una especie de boletín periódico de olimpiadas matemáticas y hoy estoy haciendo público el número 1, el cual pueden descargar e imprimir para utilizarlo como más les guste. Esto lo he estado pensando hace mucho tiempo, pero quiero que sea algo ordenado y en el cual tengan participación los alumnos y profesores de todo el país. El material lo pueden ubicar en el siguiente enlace:

(recuerden que lo pueden descargar desde el enlace: Archivo (File) / descargar (Download))

En este número 1, por ser el primero, podrán encontrar 3 artículos con los temas base para olimpiadas matemáticas: Principio de contradicción, principio de inducción y elemento extremo. Además en cada número se propondrán cierta cantidad de problemas para los alumnos cuyas soluciones pueden ser enviadas al correo:

olimatperu@gmail.com

Las mejores soluciones serán publicadas en el siguiente número. El mensaje debe llevar el título: problema x (x entre 1 y 5) y en la información se debe incluir el nombre del alumno, el grado de estudio, la región y el nombre del colegio (por ahora solo participan alumnos de colegios). Sólo se recibirán soluciones en algún documento de texto conocido, pdf o parecidos, tal vez con algún gráfico si es necesario; por favor no enviar una solución en una sola imagen (por ejemplo una foto), ya es hora de aprender a redactar.

A los profesores interesados o no, por favor compartir y difundir este material con sus alumnos y otros profesores, seguro muchos lo agradecerán. Los profesores interesados también pueden participar enviando algún problema de olimpiadas matemáticas que les haya parecido interesante, pero con la fuente correspondiente (país y año). Además, si algunos gustan pueden enviar un artículo teórico que quieran compartir, si son de propia autoría (preferiblemente a temas tipo ONEM).

La periodicidad de las publicaciones dependerá de muchos factores. Mientras más participen, enviando problemas y soluciones, más rápido saldrá el siguiente número. Quería que el número 1 salga mucho antes de la segunda fase, pero por cuestiones técnicas que tuve que resolver hace poco, no se pudo.

Espero que este material les sea de utilidad.

John Cuya

Notas finales:
- Sé que este material se pudo refinar un poco, pero tiene el contenido que quiero y prefiero que salga de una vez antes de seguir aplazándolo.
- No quiero que haya discusiones que no beneficien ni a alumnos ni a profesores.
- Para los del facebook: sé que hay un boom de resolución de problemas (sobre todo de geometría), por eso les pido por favor no publiquen imágenes con los problemas propuestos. pueden compartir o difundir el blog o el archivo pdf, de hecho se los agradecería muchísimo.